Тождества поглощения

Для любых $a, b \in A$: $$a \land (a \lor b) = a$$ $$a \lor (a \land b) = a$$

Докажем первое тождество: $a \land (a \lor b) = a$. Для любого $x \in A$: $$x \preceq a \implies x \preceq a \lor b \text{ по транзитивности}$$ Отсюда следует, что: $$\bot((\{a, a \lor b\})) = \bot((\{a\}))$$ Тогда по определению инфимума: $$a \land (a \lor b) = \inf(\{a, a \lor b\}) = \inf(\{a\}) = a$$ $\square$